Понедельник, Июль 5th, 2010

Вопросы и ответы (математика)

Исторически первым наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством » последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую, в частности, треугольную, систему.
Ступенчатой системой называется система линейных уравнений вида:

Коэффициенты аij называются главными (ведущими) элементами системы.
Если k = n, то система (6.11.1) называется треугольной (ясно, что в этом случае она будет определенной);
Если k < n, то k неизвестных X1, X2,..., хk могут быть выражены через n - k остальных неизвестных, называемых свободными (в этом случае система (6.11.1) будет неопределенной). Неизвестные X1, X2,..., xk при этом называют главными. Для определенности будем считать, что коэффициент а11 <> 0. Если это не так, то надлежащим образом изменим нумерацию неизвестных. Преобразуем систему (6.11.2), исключая неизвестное X1 из всех уравнений, кроме первого. Для
этого обе части первого уравнения умножим на число a21/a11

вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе
части первого уравнения, умноженные на число a3L, вычтем из
а соответствующих частей третьего уравнения и т.д.
Предполагая после этого, что а22 <> 0, аналогичным способом исключим неизвестное x2 из всех уравнений, кроме второго, и т.д.
В результате таких преобразований мы или получим совместную ступенчатую систему, эквивалентную системе;
(6.11.2), или придем к несовместной ступенчатой системе, в которой одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю. В этом случае система (6.11.2) также является несовместной. Очевидно, что таким способом можно любую систему линейных уравнений привести к ступенчатому виду. Следовательно, решение любой системы сводится к решению ступенчатой системы.
При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму
20
Однородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.
Однородная система уравнений всегда совместна: набор значений неизвестных хi = 0 (i = 1, …, n) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение однородной системы называется нулевым (тривиальным).
Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (6.12.1) разрешает теорема.
Теорема 9. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестых.
Следствия из данной теоремы
1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.
2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Обозначим решение системы
X1=k1,X2=k2,…,Xn=kn
в виде строки:

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 комментария

16.04.2013
Iris

Из двух городов выехали навстречу друг другу два поезда.Через 3 часа расстояние между ними стало до 230 км. Какова скорость первого поезда если второй поезд ехал со скоростью 80км/ч,а расстояние между двумя городами равно 650км?


22.04.2013
миша

призовой фонд соревнований по плаванию делится между спортсменами,занявшими 1-е,2-е, и 3-е места, в отношении 8:5:1