Понедельник, Июль 5th, 2010

Вопросы и ответы (математика)

Системы линейных алгебраических уравнений — один из основных разделов алгебры. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы такие системы. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.
• Основные понятия. Система m линейных уравнений с n неизвестными х1,Х2,…, Хn имеет вид:
где aij, bj — произвольные числа (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2, …, n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами данных уравнений.
которая называется основной матрицей системы или матрицей системы, и матрицу:
которая называется расширенной матрицей системы Используя понятие произведения матриц, систему ) можно записать в матричной форме:
АХ=В где А— основная матрица системы,
Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел C1, C2, …, Сn, которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных X1, Х2,…, Хn, превращает все уравнения системы в равенства.
Система уравнений называется совместной (разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение; система называется несовместной (неразрешимой), если она не имеет решений.
Совместая система может иметь одно или много решений.
Если система совместна, то будем говорить, что система определенная, если она имеет единственное решение, и неопределенная, если она имеет более одного решения.
Теорема Кронекера — Капелли (критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. ;
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (равносильными), когда каждое решение первой системы, если оно существует, является решением второй, и наоборот
Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную систему.
Элементарными преобразованиями системы называются следующие преобразования:
1) Перестановка любых двух уравнений.
2) Умножение обеих частей одного из уравнений на любое отличное от нуля число.
3) Прибавление к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого, умноженных на любое
число.
Может случиться, что после выполнения таких преобразований в рассматриваемой системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю. Если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, получаем систему, эквивалентную исходной. Если же свободный член этого уравнения отличен от нуля, то уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, а поэтому полученная нами система уравнений, а также исходная система будут несовместными.
19

§ 11. Методы решения систем линейных уравнений Метод Гаусса

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 комментария

16.04.2013
Iris

Из двух городов выехали навстречу друг другу два поезда.Через 3 часа расстояние между ними стало до 230 км. Какова скорость первого поезда если второй поезд ехал со скоростью 80км/ч,а расстояние между двумя городами равно 650км?


22.04.2013
миша

призовой фонд соревнований по плаванию делится между спортсменами,занявшими 1-е,2-е, и 3-е места, в отношении 8:5:1