Вопросы и ответы (математика)

c) Вычислить значения функции в критических точках и на концах интервала и выбрать из них результат в соответствии с условием задачи.
5. Интерпретировать результат п. 4 для данной конкретной задачи.
56
Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
§ 1. Основные понятия и определения
Переменная и называется функцией п переменных (аргументов) х, y,z,…, t, если каждой системе значений х, . z;:.., t, из области их изменения, соответствует определенное
значение и:
u=f(x,y,z,…, t).
Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные
значения. ^
Геометрически каждая система значений двух переменны
х, у изображается точкой на плоскости, а функция двупеременных
z = f(x, у) — некоторой поверхностью в пространстве система значений трех переменных х, у, z изображается точкой в пространстве.
Систему значений любого числа п переменных х, у, z,…, t называют точкой п — мерного пространства М(х, у, z,…, t), a функцию и, зависящую от п переменных, называют функцией точки п —мерного пространства и обозначают:
u=f(x,y,z,…,t)=f(M).

57
58
59
60
61
62
63
Отыскание наибольшего и намеиьшего значения функции двух переменных в заданной замкнутой области
Пусть требуется найти наиболшее и наименьшее значение функции z = f[x, у) в некоторой замкнутой области D. Этих значений функция достигает либо во внутренних точках области, которые являются стационарными точками функции, либо на границах области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной замкнутой области, необходимо:
1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки нет необходимости;
2) найти наибольшее и наименыпеее значение функции на границе области; если граница области состоит из нескольких линий (участков), то исследование проводится для каждого участка в отдельности;
3) сравнить все полученные значения функции; наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции в заданной области.
64
Условный экстремум
Пусть требуется исследовать на экстремум функцию z = f(x, у) при условии, что сами переменные х и у связаны уравнением с(х, у) = 0. Геометрически это означает, что, кроме функции z = f(x, у), задана еще некоторая линия L в плоскости хОу и требуется функцию z исследовать на экстремум при условии, что экстремальные точки могут принадлежать только этой линии L. Эти точки называются точками условного экстремума, а уравнение, связывающее переменные х и у, -уравнением связи.