Вопросы и ответы (математика)

Теорема Коши. Если функции z(х) и v(х) непрерывны на интервале [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), причем V'(x) <> 0 на (а, b), то найдется такая точка С, для которой выполняется:
Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа.
53
Правило Лопиталя и его применение к нахождению предела функции
Правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности. а) Случаи нахождения предела:
1) 0/0 — когда функция представляет отношение двух бесконечно
малых величин;
2) 00 / 00- когда функция представляет отношение двух бесконечно

больших величин.
Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять, отношение величин отношением их производных. Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу. Если же отношение производых
также будет представлять случай 0/0 или 00 / 00 то можно снова
снова применять правило Лопиталя, если это полезно,
до получения результата. |
54
55
Задачи о наибольших и наименьших значениях величин
Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, Выбрать независимую переменную и выразить исследуемую Величину через эту переменную, а затем найти наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал Изменения независимой переменной (конечный или бесконечный) также определяется из условия задачи.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах, этих функций:
| Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) Значением функции в этом интервале. 2. Если функция f(х) непрерывна на некотором отрезке [а;b], то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Алгоритм решения задач на отыскание наибольших и наименьших значений величин
1. Выявить величину, наибольшее или наименьшее
значение
которой нужно найти, и обозначить ее V, S и т.д. в зависимости от условия задачи.
2. Ввести переменные, с помощью которых записывается функция, подлежащая исследованию.
3. Исходя из конкретных условий задачи, выразить одну независимую переменную через другую и подставить в исследуемую функцию. При этом исследуемая функция станет функцией одной переменной. Установить реальные границы изменения переменной в соответствии с условиями задачи.
4. исследовать функцию на наибольшее и наименьшее
значения.
Для этого необходимо:
a) Найти V’.
b) Решить уравнение: V’=0
и найти критические точки; отобрать из них те, что лежат внутри рассматриваемого интервала.