Понедельник, Июль 5th, 2010

Вопросы и ответы (математика)

Пусть функция у = f(x) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Если существует предел отношения приращения функции<>f к приращению аргумента<>х при условии, что<>х->о, то функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке хо, а этот предел называется
‘значением производной функции у = f(x) в точке Хо и обозначается у’ или f'(xo):
Рассмотрим непрерывную функцию у = f(x). Опираясь на определение производной, можно рекомендовать следующий план ее отыскания:
1) Фиксируем значение Хо, находим уо= f(xo).
2) Даем аргументу приращение<>х ^о, находим
3) Вычисляем приращение функции
4) Составляем отношение
5) Ищем предел отношения при. Если этот
предел существует, то он называется производной функции в точке Хо и обозначается:

40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
§ 20. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Так как приращение функции дельтау отличается от дифференциала функции dy на величину бесконечно малую более высокого порядка относительно дельта х, то:
1) при достаточно малых значениях |дельта х| приращение функции может быть заменено ее дифференциалом с как угодно малой относительной ошибкой:
дельта у приблизительно равно dy, дсключая точки, где у’ = 0;
[2) или в развернутой форме:
f(x + Ax)« f(x)Ax + f(x).
Это приближенное равенство применяется для приближенных вычислений, т.к. вычисление дифференциала функции проще, чем вычисление ее приращения.

52
§ 21. Свойства дифференцируемых функций
Приведем основные теоремы дифференциально? исчисления.
Теорема Ферма. Если функция у = f(x) определена на отрезке [а, b] и достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (наименьшего) значения, то в этой точке существует производная f'(c), причем f'(c) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции у = f(x) в точке х = с параллельна оси абсцисс (см. рис. 133).
Теорема Ролля. Если функция у = f(х) определена и непрерывна на интервале [а, Ь] и дифференцируема в интервале (а, Ь), принимает на концах интервала равные значения f(a) = f(b), то в интервале (а, Ь) существует такая точка с, что
Г(с)=0.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если крайние координаты кривой у = f(x) равны, то на ней найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс . Теорема Лагранжа. Если функция у = f(x) непрерывна на интервале [а, Ь] и дифференцируема в интервале (а, Ь), то в интервале (а, Ь) найдется такая точка с, что: f'(c)=f(b)-f(a)/(b-a)
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что на графике функции у = f(x) между точками А и В есть точка С, касательная к которой параллельна хорде АВ (см. рис. 135).
Так как при f(a) = f(b) получаем f ‘(с) = 0, то теорема .Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. Следствие. Если f ‘(х) = 0 на интервале (а, Ь), то функция f(x) постоянна на данном интервале.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 комментария

16.04.2013
Iris

Из двух городов выехали навстречу друг другу два поезда.Через 3 часа расстояние между ними стало до 230 км. Какова скорость первого поезда если второй поезд ехал со скоростью 80км/ч,а расстояние между двумя городами равно 650км?


22.04.2013
миша

призовой фонд соревнований по плаванию делится между спортсменами,занявшими 1-е,2-е, и 3-е места, в отношении 8:5:1