Вопросы и ответы (математика)

2 Найти уравнение линии, заданной как геометрическое место точек, обладающих определенным общим свойством.
Рис. 97.
28
29
30
31
32
Поверхности второго порядка
— Основные понятия. В декартовой системе координат уравнение второй степени вида:
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Kz+L=0 определяет поверхность второго порядка.
Такая поверхность представляет собой объемную фигуру сложной конфигурации.
В зависимости от значений коэффициентов А, В, С, … уравнение может быть преобразовано к простейшему (каноническому) виду.
Так, если выполняется условие для коэффициентов:
A=B=C=D=E=F=0, : (7.7.2) мы получаем уравнение плоскости.
Если кроме условия например, G=0, мы получаем уравнение прямой:
2Hy+2Kz+L=0, (7.7.3) расположенной в плоскости yOz.
• Сфера. Общее уравнение сферы (поверхности шара)
получается при выполнении условий (см. рис. 115):
А=В=С<>О,
U = Е = F = 0.
В результате алгебраических преобразований система приводится к виду:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2, где R -радиус сферы,
0(а, Ь, с) — центр сферы.
33
34
Геометрический смысл предела
Приведем несколько примеров геометрического приложения понятия предела.
Пример 114
Если число сторон правильного вписанного в окружность многоугольника неограниченно увеличивается, то пределом площади многоугольника служит площадь круга, в этом случае переменная S (площадь многоугольника) всегда меньше своего предела.
Пример 115
При неограниченном увеличении числа сторон описанного около окружности правильного многоугольника площадь круга будет также пределом пределом площади этого многоугольника. В этом случае переменная всегда больше своего предела.
Пример 116
Предположим, что многоугольники, имеющие нечетное число сторон, являются вписанными в данную окружность. Многоугольники, имеющие четное число сторон, являются описанными около данной окружности. Ясно, что при неограниченном увеличении числа сторн n площадь крута будет пределом площади S многоугольника, но в данном случае переменная будет то больше своего предела, если п — четное, то меньше своего предела, если п — нечетное.
35
Экономический смысл предела
Рассмотрим пример экономического приложения понятия предела.
Формула непрерывных процентов
Пусть к началу года в нашем распоряжении имеется сумма А0 руб. Как добиться к концу года максимального роста этой суммы?
Один из возможных способов — воспользоваться услугами банка. Предположим, что банк дает 100 % годовых; это означает, что за год хранения вклад возрастает на 100 %, за любой меньший срок вклад возрастает пропорционально этому сроку.
После года хранения вклад станет 2Ао, но можно добиться
большего эффекта, если по истечении полгода 3/2А закрыть счет и тут же открыть его снова на очередные полгода 3/2A
Если операцию по открытию и закрытию счета производить чаще, то эффект будет еще большим: например, если эту операцию проводить в конце каждого месяца, то к концу года будем иметь: