Шпоры по ТВ

?Z’2 –доля дисперсии, вызванная неучтенными случайными причинами (случайная дисперсия).
В дисперсионном анализе рассматривается гипотеза: Н0 – ни один из рассматриваемых факторов не оказывает влияния на изменчивость признака. Значимость каждой из оценок дисперсии проверяется по величине ее отношения к оценке случайной дисперсии и сравнивается с соответствующим критическим значением, при уровне значимости ?, с помощью таблиц критических значений F – распределения Фишера-Снедекора. Гипотеза Н0 относительно того или иного источника изменчивости отвергается, если Fрасч.? Fкр.
В дисперсионном анализе рассматриваются эксперименты трех видов:
А) эксперименты, в которых все факторы имеют систематические (фиксированные) уровни;
Б) эксперименты, в которых все факторы имеют случайные уровни;
В) эксперименты, в которых есть факторы, имеющие случайные уровни, а так же факторы, имеющие фиксированные уровни.
Все три случая соответствует трем моделям, которые рассматриваются в дисперсионном анализе.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Рассмотрим единичный фактор, который принимает р различных уровней, и предположим, что на каждом уровне сделано n наблюдений, что дает N = np наблюдений. (все факторы имеют фиксированные уровни)
Пусть результаты представлены в виде Хij (i=1,2…,p; j=1,2…,n).
Предполагается, что доля каждого уровня n наблюдений имеется средняя, которая равна сумме общей средней и ее вариации обусловленной выбранным уровнем:
Xij = ? + Ai + ?ij,
где ? — общая средняя;
Ai – эффект, обусловленный i-м уровнем фактора;
?ij – вариация результатов внутри отдельного уровня фактора. С помощью члена ?ij принимаются в расчет все неконтролируемые факторы.
Пусть наблюдения на фиксированном уровне фактора нормально распределены относительно среднего значения ? + Ai с общей дисперсией ?2.
Тогда (точка вместо индекса обозначает усреднение соответствующих наблюдений по этому индексу):
Xij – X.. = (Xi. – X..) + (Xij – Xi.).
После возведения в квадрат и суммирования по i и j получим:
?
(Xij – X..)2=
?
(Xi. – X..)2 +

?
(Xij – Xi.)2
i, j

i, j

i, j

так как
?
(Xi. – X..) (Xij – Xi.)=
?
(Xi. – X..)
?
(Xij – Xi.)
i, j

i

j

но
?
(Xij – Xi.) = 0
j

Иначе первую формулу можно записать: S = S1 + S2. Величина S1 вычисляется по отклонениям р средних от общей средней X.. , поэтому S1 имеет (р-1) степеней свободы. Величина S2 вычисляется по отклонениям N наблюдений от р выборочных средних и, следовательно, имеет N – р = np – p = p(n — 1) степеней свободы. S имеет (N -1) степеней свободы.
Если гипотеза о том, что влияние всех уровней одинаково, справедлива, то обе величины М1 и М2 будут несмещенными оценками ?2. Значит, гипотезу можно проверить, вычислив отношение (М1/М2) и сравнив его с Fкр. с ?1= (р-1) и ?2= (N – р) степенями свободы.
Если Fрасч.? Fкр. , то гипотеза о незначимом влиянии фактора А на результат наблюдений не принимается.
Многофакторный дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ в Excel.