Нечеткие множества

4 Четкое множество –совок. элементов обладающих нек-м св-вом.
Характеристическая ф-я: ?А(х)= 1 х?А
0 х?А
НМ на УМ Е наз совок. пар {x/?F(x)}
Ф-ей принадлежности наз- ф-я к-я позволяет вычислить СП произвольного элемента УМ к НМ.
Формы представления НМ:
1 НО принадлежности можно задавать аналитически и графически .
Списком своих элементов :
F={(x1/0.2),(x2/0),(x3/0.3),(x4/1),(x5/0.8)}
В табличной форме:
X1 X2 X3 X4 X5
0.2 0 0.3 1 0.8
Графически:

5 Носителем НМ наз ЧП УМ, элементы к-го имеют ненулевые степени принадлежности
НМ наз пустым , если его носитель явл-ся пустым множеством F=? supp (F)= ?
НМ унимодально ,если ?F=1, только на одном х из Е
Элементы х?Е ,для к-х ?F=0,5 наз-ся точками перехода М F.
Высотой НМ наз верхняя граница его ф-и принадлежности : hgt(F)=supp?F(x) х?Е
НМ наз нормальным ,если его высота =1.
НМ не являющиеся нормальными наз субнормальным
Нормализация –преобразование субнормального НМ в нормальное .

6 Ядром НМ наз ЧП УМ ,элементы к-го имеют степени принадлежности равные 1:
Core(F)={x: ?F(x)=1}
Ядро субнормального НМ пустое
?-сечением НМ наз ЧП УМ , элементы к-го имеют степени принадлежности большие или равные :
?:F?={x:?F(x)>=?} ??[0,1]

7 а)НМ наз выпуклым если все его ?-сечения выпуклые множества
б) F выпуклое ,если для ?х, у?Е выполняется:
?F(?x+(1-?)y)>= min (?x(x),?F(y)) для всех 0<=?<=1 8 Основные операции : а)Объединение A?B =C:?C(x)=max (?A(x),?B(x)) б)пересечение A?B =C:?C(x)=min (?A(x),?B(x)) в)дополнение A’:?A’= 1-?A(x) 9 Св-ва операции объединения и пересечения Выполняются: Коммутативность Ассоциативность: Идемпотентность : Дистрибутивность : A?B=B?A (A?B)?C= A?(B?C) A?A=A A ?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?B=B?A (A?B)?C= A?(B?C) A?A=A A? (B?C)=(A?B)?(A?C) Св-ва операций пересечения ,объединения , и разности Справедливы теоремы: Де Моргана ?(A?B)=?A??B ?(A?B)=?A??B 1-max(?A,?B)=max(1-?A,1-?B) 1-min(?A,?B)=min(1-?A,1-?B) 10 Разностью НМ А и В заданных на УМ Е наз НМ С причем М С состоит и одинаковых элементов исходных М А и В : С=A-B=A?B’: ?C(X)=min(?A,1-?B(X)) Дизъюктивной суммой НМ А и В наз НМ С , определяемое в терминах объединения и пересечений разности ?A?B(X)=min{[min{?A(x),1-?B(x))}][min{1-?A(x), ?B(x)]}) Операция концентрирования уменьшает нечеткость множества Операция растяжение увеличивает нечеткость множества 11 Алгебраическое произведение: A*B=?A*B(x)= ?A(x) ?B(x) Алгебраическая сумма : A?B=?A?B(x)= ?A(x)+ ?B(x)- ?A(x) ?B(x) Св-ва для алгебраических операций: Коммуникативность: Ассоциативность: Теоремы де Моргана: Для ?и Е А*В=В*А (А*В)С=А(А*В) ?(А*В)=?А*?В А*?=? А*Е=А А?В=В?А (А?В)?С=А?( В?С) ?(А?В)= ?А??В А??=А А?Е=Е При совместном использовании операции выполняются св-ва: