МЛОИ

Частным случаем декартового произведения множеств является декартова степень множества. О ней мы будем говорить, если все множества, участвующие в декартовом произведении, равны, то есть по существу представляют собой одно множество: X1 = X2 = X3 = … = Xn = X. n-тая декартова степень множества X обозначается Xn. В таком случае можно говорить о декартовом квадрате, декартовом кубе множества X и т.п.
Например, если N — множество натуральных чисел, то N2 — множество всевозможных пар натуральных чисел, N3 — множество всевозможных троек натуральных чисел и так далее.
Множество всех действительных чисел R, как мы уже отмечали, представляет собой числовую прямую, тогда декартов квадрат этого множества R2 будет представлять собой «числовую» плоскость, каждая точка которой характеризуется парой координат , где x, y — любые действительные числа. Декартов куб этого множества R3 — «числовой» куб, каждая точка которого характеризуется тройкой координат , где x, y, x — любые действительные числа, и так далее.

Приведем еще один пример декартового произведения «нетрадиционных» множеств (то есть, нечисловых).
Пусть A={Иванов,Петров}, B={высокий, сероглазый, толстый}.
Тогда AxB ={<Иванов, высокий>,<Иванов, сероглазый>, <Иванов, толстый>, <Петров, высокий>,<Петров, сероглазый>,<Петров, толстый>}.
Как легко видеть из этого примера, число элементов декартового произведения конечного числа конечных множеств равно произведению количества элементов каждого множества. (В нашем примере: 2×3=6.)
Интуитивно должно быть ясно, что декартово произведения конечного числа счетных множеств счетно, а декартово произведение конечного числа несчетных множеств несчетно.

n-арным (или n-местным) отношением R(X1, X2, X3, … , Xn) называется любое подмножество декартового произведения n множеств X1, X2, X3, … , Xn .
Отношение представляет собой некоторую «выборку» из декартового произведения.
Декартово произведение, подмножеством которого является отношение, задает область определения (или область определенности) отношения.
Если n-арное отношение R определено на n-той декартовой степени множества Х, то будем говорить, что оно просто определено на множестве Х, то есть множество Х является областью определенности отношения R.

3. Отношения и свойства бинарных отношений.

Особый интерес представляют бинарные отношения (n=2).
В качестве примера бинарного отношения можно рассмотреть подмножество R(A,B) = {<Иванов, сероглазый>,<Петров, сероглазый>} декартового произведения A?B (см. выше).
Приведем пример более «традиционных», числовых отношений. Рассмотрим декартов квадрат множества действительных чисел — числовую плоскость, геометрической моделью которой является привычная декартова система координат. Тогда любое множество точек на плоскости является бинарным отношением (рис. 9).

Рис. 9. Бинарное отношение R(X,Y) (графическая иллюстрация).