МЛОИ

Понятие множества относится к фундаментальным, базовым понятиям математики. Точного определения этого понятия не существует. Рассматриваемые нами ниже вопросы относятся к так называемой интуитивной теории множеств, которая строится на нестрогом, интуитивном понимании множества как некоторой совокупности элементов. Такое понимание присуще большинству людей и сформировалось благодаря их практической деятельности. То есть, практически все мы интуитивно понимаем, что такое множество, хотя и не имеем точного математического определения.
Что такое отношения и какие свойства бинарных отношений?
Ответы на данные вопросы мы постараемся получить в ходе данной лекции.

1. Равносильные (тождественные) преобразования

Приведенные в прошлой лекции теоретико-множественные равенства позволяют осуществлять равносильные (тождественные) преобразования, позволяющие упростить выражения, задающие те или иные множества.
Покажем на примере, как это можно делать. Пусть дано множество: .
Зададимся вопросом: «Нельзя ли упростить правую часть приведенного равенства?». С целью ответа на этот вопрос выполним некоторые равносильные (тождественные) преобразования правой части.
На основании закона Де Моргана имеем: .
Снимая двойное дополнение, получаем:
.
Применяем дистрибутивность пересечения относительно объединения:
.
Используем ассоциативность пересечения:

Применяем закон пустого множества:
.
Еще раз применяем закон пустого множества:
.
И еще один раз:
Используя коммутативность и ассоциативность пересечения получаем:
.
Откуда, на основании дистрибутивности пересечения относительно объединения, имеем: .
Используя законы идемпотентности пересечения, получим:
.
На основании идемпотентности объединения имеем:
.
Используем закон Де Моргана: .
Таким образом, после упрощения: .
А это уже вполне «обозримое» множество, представленное на рисунке 8.

Рис.8. Множество

Аналогичным образом можно выполнять различные равносильные (тождественные) преобразования над множествами.

2. Декартово произведение множеств

Пусть даны два множества:
X = {x1, x2, x3, … , xi, … xn, … } и
Y = {y1, y2, y3, … , yj, … ym, …}.

Декартовым произведением множеств X и Y называют множество Z={,,,…,,,,…,…}, элементами которого являются всевозможные пары (двойки) элементов множеств X и Y. Декартово произведение множеств X и Y обозначается: X?Y, то есть Z=X?Y.
Пара (двойка) является упорядоченной, то есть порядок элементов в ней имеет существенное значение, иными словами, пара не равна паре в общем случае. А это, в свою очередь, означает, что эта операция над множествами не коммутативна.
Операция декартового произведения может быть распространена на любое конечное число сомножителей. В частности, декартово произведение n множеств X1, X2, X3, … , Xn , будет представлять собой множество n-ок вида таких, что