МЛОИ

Доказательством пунктов 1 и 2 утверждается равенство множеств A и B.
Равенство множеств (как и их эквивалентность) обладает свойством транзитивности, то есть, если A=B и B=C, то A=C.

2.Основные операции над множествами и их свойства

2.1. Операции над множествами
Существует ряд операций над множествами, с помощью которых из одних множеств можно получать (строить) другие множества. Рассмотрим эти операции.
Пусть имеются множества:
A = {a1, a2, a3, … ,ai, … , an, … }
B = {b1, b2, b3, … ,bj, … , bm, … }
Объединением (или суммой) двух множеств A и B называют третье множество C, которое состоит из элементов, принадлежащих множествам A или B (или тому и другому вместе).
Объединение двух множеств A и B обозначается A??B, то есть C = A??B.
Рисунок 4. иллюстрирует операцию объединения множеств:

Рис.4. Объединение множеств A и B

Пересечением (или произведением) двух множеств A и B называют третье множество C, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству A и множеству B.
Пересечение двух множеств A и B обозначается A??B, то есть C = A??B. Рисунок 5 иллюстрирует операцию пересечения множеств:

Рис.5. Пересечение множеств A и B

Дополнением множества A до универсального множества U называют множество, состоящие из тех элементов множества U, которые не принадлежат A. Дополнение множества A до универсума U обозначается U \ A или ?A.
Рисунок 6 иллюстрирует дополнение множества A до универсума U.

Рис. 6. Дополнение множества А до универсума U.

Разностью множеств В и A называют множество, состоящие из тех элементов множества В, которые не принадлежат A. Разность множеств В и А обозначается В\A.
Рисунок 7 иллюстрирует разность множеств В и А.

Рис..7. Разность множеств В и А.

2.2. Свойства операций над множествами

Известные из школа операции над действительными числами (например, сложение (+), умножение (?)) обладали рядом свойств, которые были весьма полезными при работе с действительными числами и многими из которых мы пользуемся даже не задумываясь. Например, свойствами коммутативности сложения и умножения, ассоциативности сложения и умножения, дистрибутивности умножения относительно сложения.
Определенные выше операции над множествами обладают рядом свойств, знание которых также оказывается весьма полезным, но при работе с множествами. Некоторые из этих свойств имеют аналоги в алгебре действительных чисел, другие не имеют. Ниже мы приведем эти свойства операций над множествами и докажем некоторые из них.
Свойства коммутативности.
Коммутативность объединения множеств:
Коммутативность пересечения множеств:
Свойства ассоциативности
Ассоциативность объединения множеств:

Ассоциативность пересечения множеств:

Свойства дистрибутивности
Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

Свойства универсального множества