МЛОИ

Таким образом, мы убедились в том, что не существует подходящего «пересчета» всех действительных чисел интервала (0,1) натуральными числами, то есть это множество не является эквивалентным (равномощным) множеству натуральных чисел, то есть не является счетным множеством. Говорят, что оно несчетно.
Теперь можно показать, что множество всех действительных чисел (-?,+?) эквивалентно (равномощно) множеству действительных чисел интервала (0,1). Для этого достаточно каждому числу интервала (0,1) поставить в соответствие единственное число интервала (-?,+?), и наоборот. Приведем геометрическое подтверждение существования взаимно-однозначного соответствия между указанными множествами.
Как известно, интервал (-?,+?) представляет собой числовую ось — прямую. В качестве геометрической модели интервала (0,1) возьмем полуокружность единичной длины. Искомое соответствие иллюстрирует рисунок 3.

Рис. 3. Взаимно-однозначное соответствие точек
полуокружности и числовой оси.

В соответствии с этим рисунком, каждой точке полуокружности соответствует единственная точка прямой, концевым точкам полуокружности — бесконечно удаленные точки -? и +?. И наоборот.
Таким образом, множество всех действительных чисел эквивалентно (равномощно) множеству действительных чисел отрезка (0,1) и является несчетным множеством.
Мощность множества всех действительных чисел называют континуальной, (а само множество часто называют континуумом).
Имеет место утверждение (которое мы примем без доказательства, как факт): Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума.
Существуют множества, мощность которых больше мощности континуума. Например: множество всех подмножеств множества мощности континуум имеет мощность континуума второго порядка; множество всех подмножеств множества мощности континуума второго порядка имеет мощность континуума третьего порядка и т.д.
Числа, выражающие мощности таких множеств называют кардинальными числами.

1.3. Равенство множеств

Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств автоматически влечет их эквивалентность (равномощность). Обратное неверно: множества могут быть эквивалентны, но не равны. Например, множество натуральных чисел и множество четных натуральных чисел эквивалентны, но не равны. Тот факт, что множества A и B равны обозначают:A = B.
Ясно, что два множества будут равны, если одно из них является подмножеством другого, и наоборот, то есть: если B ? A и A ? B, то A = B.
Доказательство равенства двух множеств A={a1,a2, …,ai,…,an, …} и B = {b1,b2,…,bi,…,bn,…} осуществляется в два этапа по следующей схеме:
Для любого элемента ai из множества A доказывается, что он принадлежит и множеству B, то есть, доказывается, что A является подмножеством множества B: B ? A.
Для любого элемента bi из множества B доказывается, что он принадлежит и множеству A, то есть, доказывается, что B является подмножеством множества A: A ? B.