Понедельник, Июль 5th, 2010

МЛОИ

На понятии эквивалентности множеств основывается понятие мощности множества. Мощностью множества называют число, характеризующее любые эквивалентные между собой множества.
Например, множество натуральных чисел N, множество четных натуральных чисел Nчет, множество нечетных натуральных чисел Nнечет, множество целых чисел Z, множество рациональных неотрицательных чисел R+, множество всех рациональных чисел R имеют одинаковую мощность.
Эту мощность называют счетной, а множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N называют счетными.
Что общего у пяти пальцев на руке и пяти коров, пасущихся на лугу? Одинаковая мощность соответствующих множеств. Эта мощность равна натуральному числу «пять». Вообще же, мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных же множеств дело с мощностью обстоит намного интереснее. Оказывается, счетными множествами не исчерпываются все бесконечные множества. Существуют так называемые несчетные бесконечные множества, «число элементов» которых нельзя «сосчитать», как мы это делали выше.
Классическим примером несчетного бесконечного множества является множество действительных чисел интервала (0,1). Покажем, что множество действительных чисел интервала (0,1) нельзя «пересчитать».
Прежде всего, отметим, что действительные числа из интервала (0,1) представляют собой правильные десятичные дроби конечные, или бесконечные периодические, или бесконечные непериодические. Если дробь конечна, то будем считать что справа к ней можно приписать бесконечное число нулей. Тогда можно говорить о бесконечных периодических или непериодических правильных дробях вида: A=0,?1?2?3?4…?n-1?n?n+1… , где ?i — десятичная цифра (0,1, 2, … , 9).
Предположим что имеется полный «пересчет» всех таких дробей, который представлен таблицей 2.

Таблица 2.
Схема «пересчета» правильных дробей

Здесь ?ik — k-тая цифра i-той дроби.

Образуем правильную бесконечную дробь B =0,?1?2?3…?i?i+1… из входящих в «пересчитанные» в таблице дроби цифр ?11, ?22, ?33, …, ?ii, ?1(i+1)(i+1) … по следующему правилу:
.
В результате получается бесконечная десятичная дробь, все цифры которой либо 5, либо 6. Но не это самое интересное. Оказывается, эта дробь не входит в наш «пересчет»! В самом деле. От первой дроби она отличается, по крайней мере, первой цифрой после запятой; от второй дроби — второй цифрой, от третьей — третьей и т.д. То есть, она не совпадает ни с одной из «пересчитанных» нами дробей.
Мы можем включить эту дробь в «пересчет», например, под номером 1, а остальные «сдвинуть вниз». Но описанным выше образом, опять-таки, можно построить правильную бесконечную дробь C=0,?1?2?3…?i?i+1…, которая снова не войдет в «пересчет». И так далее.1)

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Работа мастером по ремонту квартир в колпино.

Категория: Лекции