МЛОИ

Для бесконечных множеств ситуация, на первый взгляд, может показаться парадоксальной. Рассмотрим, например, два множества: множество натуральных чисел N = {1,2,3,4,…,n-1,n,n+1,…} и множество четных натуральных чисел Nчет = {2,4,6,8,…, 2(n-1), 2n, 2(n+1), …}. Зададимся вопросом: «Каких чисел больше?» Кажется, что четных натуральных чисел в два раза меньше, чем натуральных. Но ведь и тех, и других бесконечное множество. Более того, между элементами этих множеств может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, иллюстрируемое схемой, представленной на рис. 1. А это означает, что эти два бесконечные множества эквивалентны, то есть N ? Nчет.
Рис.1. Взаимно-однозначное соответствие между
элементами множеств N и N2.

Легко показать эквивалентность множества натуральных чисел N и множества нечетных натуральных чисел Nнечет.
Множество натуральных чисел N оказывается эквивалентным множеству всех целых чисел Z, что иллюстрирует схема, представленная на рис.2.
Рис.2. Взаимно-однозначное соответствие между
элементами множеств N и Z.

Несложно организовать «пересчет» с помощью натуральных чисел всех рациональных неотрицательных чисел, т.е. чисел представимых в виде дроби p/q, где p, q – натуральные числа (p может быть равно 0). Пример такого «пересчета» иллюстрирует таблица 1. В ней стрелкой-«зигзагом» обозначено направление «пересчета».
Ясно, что указанное соответствие не носит взаимно-однозначного характера. Этого можно добиться, если в процессе «пересчета» опускать дроби, равные встретившимся раньше. Например, вторую, шестую, седьмую, девятую, пятнадцатую, шестнадцатую, восемнадцатую, девятнадцатую, двадцатую, … . Для нас важна принципиальная возможность самого «пересчета» рациональных неотрицательных чисел. То есть, рациональных неотрицательных чисел опять-таки «ровно столько же», сколько и натуральных чисел.

Таблица 1
Схема «пересчета» рациональных неотрицательных чисел

Теперь легко догадаться, что аналогичным образом можно организовать «пересчет» всех рациональных чисел, т.е. включая и отрицательные числа.
Таким образом, с помощью натуральных чисел мы можем «перенумеровать» («сосчитать», «перечислить») все четные натуральные числа, все целые числа, все рациональные числа и т.п. И оказывается, что все эти бесконечные множества содержат «ровно столько же» элементов, сколько и множество натуральных чисел, то есть все они эквивалентны ему в смысле приведенного выше определения.
Легко убедиться в справедливости утверждения: Любые два множества, попарно эквивалентные третьему, эквивалентны между собой. Это свойство называют свойством транзитивности эквивалентности.
Таким образом, можно говорить об эквивалентности следующих множеств: множества натуральных чисел N, множества четных натуральных чисел Nчет, множества нечетных натуральных чисел Nнечет, множества целых чисел Z, множества рациональных неотрицательных чисел R+, множества всех рациональных чисел R.