МЛОИ

Изложив основные структуры математических доказательств, мы надеемся, что читатель теперь по иному будет относиться к доказательству любой теоремы из курсов линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и т.д. Приступая к изучению доказательства любой теоремы, прежде всего, необходимо выяснить структуру доказательства, постараться отнести его к одному из рассмотренных четырех видов, а уже затем изучать само доказательство, четко представляя ту идею, которую применил автор теоремы для того, чтобы ее доказать.

2. Применение логики высказываний к анализу и синтезу переключательных (контактных) схем

Переключательной (или контактной) схемой мы будем называть участок электрической цепи, включающий ряд переключателей (контактных выключателей), подобный приведенному на рис.2.

Каждому переключателю схемы сопоставим пропозициональную переменную Xi, которая будет принимать значение И (истина) или Л (ложь), если соответствующий переключатель замкнут (то есть, проводит электрический ток) или разомкнут (то есть, не проводит электрический ток).
Поскольку функция участка электрической цепи состоит в том, чтобы проводить электрический ток, то два участка, содержащие одни и те же переключатели и проводящие или не проводящие ток при одном и том же состоянии всех выключателей («замкнут» или «разомкнут»), мы будем считать «равными» и не различать между собой.
Рис.2. Вид переключательной схемы
Легко сообразить, что участку цепи, представляющему собой последовательное соединение двух переключателей X1 и X2 будет отвечать формула логики высказываний, представляющая собой конъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2, то есть, X1&X2 (что означает, что такой участок проводит ток тогда и тогда, когда оба переключателя X1 и X2 замкнуты), а участку цепи, представляющему собой параллельное соединение двух переключателей X1 и X2 — формула, представляющая собой дизъюнкцию пропозициональных переменных X1 и X2 (что означает, что такой участок проводит ток тогда и тогда, когда хотя бы один из переключателей X1, X2 замкнут), то есть, X1?X2. Сказанное представлено на рис.3.

Рис. 3. Соответствие формул логики высказываний видам
соединения переключателей.

Условимся обозначать через И всегда замкнутый контакт, а через Л — всегда разомкнутый. На схемах это будет выглядеть так, как представлено на рис.4.

Рис.4. Соответствие логических констант всегда замкнутому и всегда разомкнутому контактам.

Условимся, наконец, обозначать через Xi и ?Xi такую пару контактов, что когда контакт Xi замкнут, контакт ?Xi обязательно разомкнут, и наоборот. Техническое осуществление такой пары контактов показано на рис.5.
Рис.5. Реализация контактов Xi и ?Xi.

Ясно, что параллельное и последовательное соединение переключательных схем обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, идемпотентности.
Несколько сложнее проверяется выполнимость двух законов дистрибутивности:
X&(Y?Z) ? (X&Y) ?(X&Z) и X?(Y&Z) ? (X?Y)& (X?Z).