МЛОИ

Этот метод используется при доказательстве теорем вида A?B и основывается на законе контрапозиции X?Y ? ?Y ? ?X, который фактически гласит, что доказательство теоремы A?B может быть заменено доказательством эквивалентной ей теоремы, которая формулируется как ?B ??A . Последняя теорема называется обратная противоположной (или противоположная обратной).
Доказательство теоремы ?B ??A осуществляется прямым путем, то есть как цепочка импликаций: ?B?B1, B1?B2, …, Bn-1?Bn, Bn??A, из которой делается вывод (в силу транзитивности импликации) о справедливости теоремы ?B ??A. А в силу закона контрапозиции заключается о справедливости теоремы A?B.

4.Доказательство приведением к абсурду.
Пусть требуется доказать истинность некоторого утверждения A. Предположим, что A ложно, тогда ?A — истинно, поскольку закон противоречия (X&?X?Л), имеющий место в логике высказываний, означает, что одновременно не могут быть истинными утверждение и его отрицание.
После этого показывается, что тогда имеется некоторое утверждение B такое, что истинными являются одновременно два утверждения: ?A?B и ?A??B.1) Это и есть то, что называют абсурдом.
В логике высказываний тождественно-истинной является формула: (?A?B)&(?A??B) ?A (проверку чего мы предоставляем читателю).
Из этой формулы и (?A?B)&(?A??B) по правилу вывода modus ponens следует, что имеет место утверждение A.

4. Доказательство необходимых и достаточных условий.
В математике часто встречаются теоремы вида: «Условие A равносильно условию В», что также выражается словами: «Для того, чтобы имело место условие А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие В». В виде формулы логики высказываний такая теорема может быть записана в виде: А?В. Доказательство ее обычно сводится к доказательству двух утверждений:
1.А?В (Если имеет место условие А, то выполняется и условие В)
2.В?А (Если имеет место условие В, то выполняется и условие А).2)
Первое условие называют необходимым (то есть, В необходимо для А), а второе условие — достаточным (то есть, А достаточно для В). По-другому, первое называют прямой теоремой, а второе — обратной.
Доказательство и прямой, и обратной теорем может быть осуществлено любым из трех приведенных выше способов. После чего, можно утверждать и справедливость теоремы «Условие A равносильно условию В».
Существует и другой способ доказательства теорем вида: «Условие A равносильно условию В», когда одновременно доказывается необходимость и достаточность условия В для А. Для этого находится последовательность тождественно-истинных эквиваленций вида: A?A1, A1?A2,…,An-1?An, An?B, где A1,A2,A3,…,An — некоторые вспомогательные высказывания.
Отсюда делается вывод (в силу транзитивности эквиваленции) о справедливости теоремы A?B.
Наконец, доказательство теоремы вида A?B можно заменять доказательством равносильной ей противоположной теоремы ?А??В. (В равносильности этих теорем легко убедиться с помощью таблиц истинности.)