МЛОИ

Все свои мысли человек облекает в высказывания. Из одних высказываний, как из кирпичиков, строятся другие высказывания, делаются логические выводы, обобщения. Все теоремы в математике, законы в физике, химии, биологии, медицине, юриспруденции и т.д. – это высказывания. Высказывание является основой любого человеческого языка.
На предыдущей лекции мы познакомились с понятиями: логика высказываний; основные операции проводимые над высказываниями и их свойства? Необходимо рассмотреть следующие вопросы: Применение логики высказываний к анализу структуры математических доказательств? Применение логики высказываний к решению задач анализа и синтеза переключательных (контактных) схем?
Ответы на данные вопросы мы постараемся получить в ходе данной лекции.
1. Применение логики высказываний к анализу математических доказательств

Ни у кого не возникает сомнения в том, что математические доказательства являются примерами строгих логических рассуждений.
Аппарат логики высказываний позволяет нам прояснить структуру доказательств многих математических утверждений.
Рассмотрим с точки зрения логики высказываний наиболее типичные методы доказательств в математике.
1.Доказательство с помощью построения цепочки импликаций.
Этим методом пользуются при доказательстве теорем, выраженных в форме импликации: «Если высказывание A истинно, то и высказывание B истинно», то есть A?B.
Доказательство строится как последовательность тождественно-истинных импликаций вида: A?A1, A1?A2, … , An-1?An, An?B, где A1, A2, A3, … , An — некоторые вспомогательные высказывания.
Отсюда делается вывод (в силу транзитивности импликации) о справедливости теоремы A?B.
Такое доказательство называется прямым доказательством.
Прежде, чем рассмотреть другие типы доказательств напомним классификацию теорем из средней школы, которую иллюстрирует рис.1
Как легко проверить, используя метод истинностных таблиц, прямая теорема оказывается равносильной обратной противоположной, а обратная теорема — противоположной. И в то же время, таких равносильностей в общем случае не существует между прямой и обратной теоремами, между прямой и противоположной, между обратной и обратной противоположной, между противоположной и обратной противоположной.
2.Доказательство от противного.
Этот метод используется при доказательстве теорем вида A?B и основывается на законе контрапозиции X?Y ? ?Y ? ?X, который фактически гласит, что доказательство теоремы A?B может быть заменено доказательством эквивалентной ей теоремы, которая формулируется как ?B ??A . Последняя теорема называется обратная противоположной (или противоположная обратной).

.

Рис.1. Взаимосвязь между прямой, обратной и противоположной и обратной противоположной теоремами
Из указанных равносильностей вытекает следующий метод доказательства.

3.Доказательство от противного.