МЛОИ

Пример 1. Построить вывод формулы A?C из множества формул F={A?B, B?C}. Включим A как гипотезу во множество посылок F.
1. A?B, B?C, A ??A?B — гипотеза.
2. A?B, B?C, A ?? B?C — гипотеза.
3. A?B, B?C, A ?? A — гипотеза.
4. A?B, B?C, A ?? B — из п.1и п.3 по modus ponens.
5. A?B, B?C, A ?? C — из п.2 и п.4 по modus ponens.
6. A?B, B?C??A?C — из п.5 по теореме дедукции.
Что и требовалось показать.

Пример 2. Имеем множество посылок F={?A?B, ?A??B}. Построим вывод формулы A из этого множества посылок:
1. ?A?B, ?A??B?? (?A?B)&(?A??B) — конъюнкция первой и второй посылок.
2. ?A?B, ?A??B?? (A?B)&(?A??B) — замена первой посылки равносильной формулой.
3. ?A?B, ?A??B?? (A?B)&( A??B) — замена второй посылки равносильной формулой.
4. ?A?B, ?A??B?? (A?B)?A?(A?B)&?B) — дистрибутивность & относительно ?.
5. ?A?B, ?A??B??A&(A?B)? ?B&(A?B) — коммутативность &
6. ?A?B, ?A??B??A&A?A&B??B&A??B&B — дистрибутивность & относительно ?.
7. ?A?B, ?A??B??A?A&B??B&A??B&B — идемпотентность &
8. ?A?B, ?A??B??A?A&B??B&A?Л — закон противоречия
9. ?A?B, ?A??B??A?A&B??B&A — свойство логической константы Л.
10. ?A?B, ?A??B??A??B&A — закон поглощения
11. ?A?B, ?A??B??A?A&?B — коммутативность &
12. ?A?B, ?A??B??A — закон поглощения
Таким образом, формула А выводима из множества формул F={?A?B, ?A??B}.
Пример 3. Имеем множество посылок F={A?B?С, A, ?С}. Построим вывод формулы B из этого множества посылок:
1. A?B?С, A, ?С?? A?B?С — гипотеза.
2. A?B?С, A, ?С?? A — гипотеза.
3. A?B?С, A, ?С?? ?С — гипотеза.
4. A?B?С, A, ?С?? ?C??(A?B) — замена формулы п.1 эквивалентной (закон контрапозиции).
5. A?B?С, A, ?С?? ?(A?B) — из п. 3 и п. 4 по modus ponens.
6. A?B?С, A, ?С?? ? ?A — замена формулы п.2 эквивалентной (закон снятия двойного отрицания).
7. A?B?С, A, ?С?? ?A&?B — замена формулы п.5 эквивалентной (закон Де Моргана).
8. A?B?С, A, ?С?? ? ?B — из п.6 и п.7 по modus tollens.
9. A?B?С, A, ?С?? B — замена формулы п.8 эквивалентной (закон снятия двойного отрицания).
Таким образом, A?B?С, A, ?С?? B.