МЛОИ

Например, множество A = {a1, a2, a3, … ,ai, … , an, … } содержит элементы a1, a2, a3, … ,ai, … , an, ….
Тот факт, что элемент ai принадлежит множеству A (является элементом множества A) обозначают: ai ? A.
Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является также и элементом множества А.
Этот факт будем обозначать A?B. (Читается: «Множество A включает множество B», или «B является подмножеством множества A».) Отношение вида A?B будем называть включением. Иногда используют знак обратного включения ?, смысл которого, должен быть ясен: запись B?A имеет тот же смысл, что и A?B.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством.
Например: множество круглых квадратов, множество корней уравнения x2 = x2 +1, и т.п. Пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество обозначают символом ?.
Множество, которое содержит все мыслимые элементы называют универсальным множеством, или универсумом. Универсальное множество содержит в качестве своих подмножеств любые множества. Универсальное множество обозначают буквой U.
Множества могут содержать конечное или бесконечное число элементов. В первом случае их называют конечными, во втором — бесконечными. Например, множество ступенек на лестнице Эйфелевой башни – конечное, а множество целых положительных чисел кратных 3 – бесконечное.

1.1.Взаимно-однозначное соответствие, эквивалентность множеств, мощность множества

Важное значение в теории множеств имеют понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств и, основывающееся на нем, понятие эквивалентности (равномощности, равночисленности) множеств.
Множества A и B называют эквивалентными (равномощными, равночисленными), если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором каждому элементу ai множества A соответствует единственный элемент bj множества B, и наоборот, каждому элементу bj множества B соответствует единственный элемент ai множества A.
Тот факт, что множества A и B эквивалентны между собой будем обозначать: A ? B.
Ясно, что эквивалентными между собой являются два любых конечных множества, содержащих одинаковое количество элементов: каждому элементу одного множества можно поставить во взаимно-однозначное соответствие единственный элемент второго множества, и наоборот: