МЛОИ

Словосочетанию «если …, то …» соответствует операция, называемая материальной импликацией и обозначаемая символом ?. Материальная импликация задается следующей таблицей:

A
B
A?B
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И

A называется антецедентом (или условием), B – консеквентом (или следствием) материальной импликации.
Определение материальной импликации (мы будем называть ее просто импликацией) весьма условно можно считать формализацией словосочетания «если …, то …». Дело в том, что словосочетание «если …, то …» выражает в языке не только логическую, но и причинно-следственную связь, которую материальная импликация выразить не может. И, тем не менее, это определение в значительной степени соответствует интуитивному пониманию словосочетания «если …, то …» в смысле логического следования. По крайней мере, высказывание, являющееся импликацией двух высказываний, ложно в том и только том случае, если мы из истины пытаемся сделать (или, как говорят, имплицировать, вывести) ложное заключение (третья строка таблицы).

Словосочетанию «…тогда и только тогда, когда …» (синонимы: «… если и только если …», «… эквивалентно…», «… необходимо и достаточно для …») соответствует логическая операция, называемая эквиваленцией и обозначаемая символом ?. Эквиваленция задается следующей таблицей:

A
B
A?B
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
И

То есть, эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда высказывания либо оба ложны, либо оба истинны.
Примером эквиваленции двух высказываний является высказывание «Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и углы равны между собой».
Как мы увидим далее, операции строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции могут быть выражены через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, поэтому они являются как бы избыточными. Более того, дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание, а конъюнкцию – через дизъюнкцию и отрицание.5) Отмеченная избыточность не является, вообще говоря, недостатком логики высказываний, она позволяет в более естественном виде осуществлять формализацию высказываний и рассуждений.

2.2. Свойства логических операций

Рассматриваемые нами логические операции над высказываниями обладают рядом свойств, которые удивительным образом напоминают нам соответствующие свойства операций над множествами в интуитивной теории множеств.
Свойства мы зададим в виде так называемых логических равенств. Мы будем понимать логическое равенство как утверждение логической равносильности, (логической эквивалентности) двух высказываний. Логическая равносильность высказываний означает, что значения истинности этих высказываний совпадают.6) Для обозначения логической равносильности двух высказываний будем использовать символ ?. Приведем здесь лишь свойства основных логических операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Свойства коммутативности
коммутативность конъюнкции: A&B ? B&A,
коммутативность дизъюнкции: A?B ? B?A.
Свойства ассоциативности