МЛОИ

4. О парадоксах интуитивной теории множеств

В заключение данной главы отметим одно обстоятельство, свидетельствующее о том, что с «интуитивной» теорией множеств «далеко не все благополучно». Основываясь на интуитивном толковании понятия множества, можно придти к противоречивым выводам, которые получили название парадоксов.
В качестве примера рассмотрим парадокс Рассела.
Множество назовем собственным, если оно не является элементом самого себя. Например, множество всех столов само столом не является, то есть не является элементом множества всех столов.
Множество назовем несобственным, если оно является элементом самого себя. Например, множество всех идей само является идеей, то есть является элементом множества всех идей.
То есть, сами по себе понятия «собственное» и «несобственное» множества имеют «право на существование».
Ясно, что любое множество является либо собственным, либо несобственным.
Рассмотрим множество всех собственных множеств Р.
Зададимся вопросом: каким является само это множество Р, то есть, собственное оно или несобственное?
1.Пусть Р собственное множество. Тогда, поскольку Р — есть множество всех собственных множеств, должно иметь место: Р?Р. Но Р?Р говорит о том, что множество Р является элементом самого себя, то есть должно быть признано нами как несобственное множество. Итак: если Р — собственное, то Р — несобственное.
2.Пусть теперь Р — несобственное множество. Это означает, что Р является элементом самого себя, то есть Р?Р. Но поскольку Р множество всех собственных множеств, то как элемент этого множества множество Р тоже должно быть признано собственным. Итак: если Р — несобственное, то Р — собственное.
В приведенном рассуждении используются лишь начальные понятия теории множеств: понятие множества как некоторой совокупности элементов, понятие элемента множества, понятия «элемент принадлежит множеству» и «элемент не принадлежит множеству». И больше ничего! Тем не менее, парадокс налицо.
Существует интересная семантическая интерпретация парадокса Рассела, известная как «парадокс брадобрея».
В одной деревне живет мужчина-брадобрей, которому на сходе жителей было строго-настрого («под угрозой смерти») приказано брить тех и только тех мужчин деревни, которые не бреются сами.
До тех пор, пока клиентами брадобрея являются мужчины этой деревни, у брадобрея никаких проблем не возникает. Он спрашивает у пришедшего к нему мужчины: «Бреетесь ли Вы сами?». И если тот не бреется сам, то с удовольствием его бреет, а если пришедший бреется сам, то еще с большим удовольствием отправляет его восвояси.
Парадоксальная ситуация возникает тогда, когда встает вопрос о бритье самого брадобрея. Если он собирается себя брить, то он немедленно должен отложить бритву в сторону, потому что, как брадобрей этой деревни, он не должен брить тех мужчин деревни, которые бреются сами. Но в таком случае, он должен немедленно заняться своей работой, потому что, обязан брить всех жителей деревни, которые сами себя не бреют.